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Existe um conjunto de problemas clássicos da antiga matemática que parecem encantadoramente simples. Mas, na verdade, não é apenas difícil resolvê-los – é impossível. A quadratura do círculo se tornou sinônimo de algo impossível de se realizar.
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Existe um conjunto de problemas clássicos da antiga matemática que parecem encantadoramente simples. Mas, na verdade, não é apenas difícil resolvê-los – é impossível.
❗ Foram necessários milênios para comprovar essa impossibilidade. Enquanto isso, gênios como Euclides, Arquimedes, René Descartes, Isaac Newton e Carl Friedrich Gauss, além de artistas e intelectuais, tentaram encontrar a solução desses problemas, sem sucesso.
👉 Mas suas tentativas não foram em vão. Elas foram inspiradoras e impulsionaram o desenvolvimento da matemática.
Não se sabe ao certo como esses problemas surgiram, mas o mais famoso deles – procurar a quadratura do círculo – já aparece no papiro de Rhind, um documento egípcio de cerca de 4 mil anos atrás.
O que se sabe é que foram os antigos gregos que apresentaram esses problemas com precisão, em termos matemáticos.
Resumidamente, os objetivos desses problemas eram encontrar:
a quadratura do círculo
a trissecção do ângulo
a duplicação do cubo
a inscrição de todos os polígonos regulares em um círculo
Expressos desta forma, podem parecer confusos, mas, na verdade, o que está sendo pedido é:
desenhar um quadrado cuja área seja a mesma de um círculo dado
dividir um ângulo em três ângulos iguais
desenhar um cubo que tenha o dobro do tamanho de outro
dividir um círculo em partes iguais
Assim está mais claro, não?
Mas, como disse o escritor americano Donald Westlake (1933-2008), "sempre que algo parece fácil, é porque existe uma parte que você não ouviu". Ou, neste caso, que nós não dissemos.
Você só pode resolver estes problemas no estilo usado na Grécia antiga. Ou seja, além de algo para traçar um desenho, algo onde desenhar e da sua mente, você só pode usar um compasso e uma régua sem marcações.
Régua (sem marcação) e compasso são as únicas ferramentas que podem ser usadas para solucionar os desafios clássicos.
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Por quê?
"Esta é uma boa pergunta. E há várias respostas", afirmou à BBC News Mundo (o serviço em espanhol da BBC) o matemático David Richeson, autor do livro Tales of Impossibility ("Contos de impossibilidade", em tradução livre).
Uma resposta é que o compasso e a régua são registrados muito claramente nos postulados do livro fundamental de matemática Os Elementos de Euclides [cerca de 300 a.C.].
"Outra é que eles representam as ferramentas mais básicas que sempre foram usadas. Com uma corda, você pode traçar uma linha reta e, se fixar uma das extremidades ao solo, com a outra pode desenhar um círculo."
"Mas também por sua simplicidade e elegância", afirma o matemático. "Para mim, o surpreendente não é tanto o que não se pode fazer, mas tudo o que se pode fazer com estas ferramentas."
Você pode, por exemplo, bissectar um ângulo (dividi-lo em dois ângulos iguais) com facilidade.
4 problemas matemáticos da Antiguidade que demonstram que o impossível era possível
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(1) Apoie o compasso no vértice do ângulo e desenhe um arco.
(2) Apoie o compasso em um dos pontos de intersecção do arco com as linhas e desenhe um arco.
(3) Faça o mesmo no outro ponto de intersecção.
(4) Trace uma linha entre o vértice do ângulo e o ponto de intersecção dos dois arcos.
"A bissecção de um ângulo é algo que aprendemos na aula de geometria na escola. É muito simples", destaca Richeson. "Mas a pergunta que interessava aos gregos é: se você tiver um ângulo, poderia dividi-lo em três partes iguais?"
"A resposta é: às vezes, sim, mas não existe uma regra geral para isso."
O matemático prossegue: "Isso não quer dizer que estes problemas sejam insolúveis, independentemente das ferramentas que você utilizar. Mas, com as ferramentas euclidianas clássicas, é impossível resolvê-los."
Arquimedes, um dos maiores matemáticos da história, demonstrou que, se a régua tiver apenas duas marcas, é possível medir exatamente uma distância, o que seria suficiente para proceder à trissecção de qualquer ângulo, segundo Richeson. "Ou seja, se as suas ferramentas fossem um pouquinho mais sofisticadas, estes problemas poderiam ser solucionados."
🔎 Mas, assim, não vale. O desafio é resolver os problemas respeitando as regras do jogo, o que é irresistível para mentes brilhantes…
…muito brilhantes
➡️ O primeiro matemático conhecido por tentar atingir a quadratura do círculo foi Anaxágoras, famoso por ter sido o primeiro a introduzir a filosofia em Atenas, na Grécia, no século 5° a.C.
Anaxágoras foi preso por afirmar que o Sol não é um deus, mas uma rocha que arde em vermelho vivo, e que a Lua reflete sua luz, segundo conta o historiador Plutarco (46-120 d.C.).
Ele passou seu tempo na prisão tentando construir, apenas com régua e compasso, um quadrado com a mesma área de um círculo. Mas seus esforços foram em vão.
➡️ Seu contemporâneo Hipócrates de Quio, um dos matemáticos cuja obra foi sintetizada na geometria euclidiana, conseguiu uma solução parcial alentadora: a lúnula de Hipócrates, a primeira quadratura de uma figura curvilínea da história.
➡️ Seriam necessários 23 séculos para que o grande matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783) encontrasse dois novos tipos de lúnulas que podiam ser transformadas em quadrados, em 1771. Mas sua descoberta não contribuiria para a quadratura do círculo, como se chegou a pensar.
A lúnula de Hipócrates foi a primeira das únicas cinco lúnulas que podem ser transformadas em quadrados com régua e compasso.
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Este é apenas o princípio de uma longa lista de matemáticos, amadores ou não, que tentaram atingir este objetivo, armados apenas com as duas ferramentas.
Leonardo da Vinci [1452-1519] passou um período realmente fascinado pela matemática e pela geometria e tentou resolver estes problemas, mas também incorporou seu talento artístico para criar desenhos com eles.
O Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci evocou o problema da quadratura do círculo no século 15, mas não tentou resolvê-lo.
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➡️ E da Vinci não foi o único renascentista a tentar resolver os problemas clássicos. O artista mais famoso do Renascimento alemão, Albrecht Dürer (1471-1528), foi outro dos matemáticos mais importantes daquela época.
No segundo volume da sua obra Os Quatro Livros da Medida, Dürer forneceu métodos aproximados para atingir a quadratura do círculo, utilizando construções com régua e compasso. E também forneceu um método para obter, de forma bastante aproximada, a trissecção do ângulo com ferramentas euclidianas.
O famoso artista do Renascimento alemão Albrecht Dürer tentou resolver o problema da quadratura do círculo, sem sucesso.
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Para Richeson, uma das histórias mais fascinantes fala sobre a construção de polígonos regulares – ou seja, a divisão do círculo em partes iguais.
"Este sempre foi um problema notoriamente complicado", ele conta.
"Sabia-se fazer vários deles, mas não todos. Alguns, como os polígonos com 7, 9 e 17 lados, eram desconhecidos e, por muitos anos, as pessoas se perguntavam se seriam impossíveis."
Desde o tempo da Grécia clássica até o final do século 18, não houve progressos significativos usando apenas as ferramentas euclidianas. Até que surgiu o prodígio matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
"Em 1796, Gauss era apenas um adolescente, mas acabou sendo um dos matemáticos mais famosos da história. Ele demonstrou que é possível construir um polígono regular com 17 lados."
"Foi uma de suas primeiras descobertas – algo que era impossível para gerações de matemáticos", conta Richeson.
É preciso também ter em mente que, como estes problemas são teóricos e não práticos, as provas da sua resolução são mais importantes do que a resolução em si. E a profunda análise feita por Gauss para comprovar sua descoberta abriu as portas para ideias posteriores sobre a chamada teoria de Galois.
🎯 Por isso, se você se perguntava qual o benefício de tantas mentes brilhantes terem se esforçado tanto, tentando conseguir algo que, em vários casos, poderia ser atingido com outras ferramentas, este é um exemplo de processo de retroalimentação que gerou muitos outros conhecimentos.
"Tentar resolver estes problemas realmente impulsionou a matemática, mas também, à medida que a matemática se desenvolvia, as pessoas retornavam aos problemas antigos e verificavam se as novas descobertas ajudavam a resolvê-los", explica o especialista. "Foi uma espécie de ida e volta ao longo dos séculos."
'O Ancião dos Dias', de William Blake (1757-1827), mostra Urizen (a encarnação da sabedoria convencional e da lei no seu universo mitológico) segurando um compasso (para ele, o símbolo da razão, que limita a imaginação).
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Mas nem tudo é possível
Tentar solucionar estes problemas contribuiu para o progresso da matemática, mas a demonstração da sua impossibilidade dependia desses avanços.
"Foi preciso esperar pela invenção da geometria analítica, da álgebra, do cálculo, dos números complexos, a compreensão profunda do número π e até um pouco da teoria dos números", afirma Richeson, "e esta foi parte da razão por que demorou tanto tempo."
No caso da quadratura do círculo, por exemplo, "o tiro de misericórdia ocorreu quando se descobriu que π é um número transcendental".
Após séculos de uma obsessão que chegou a receber um nome na Grécia antiga – tetragonidzein, ou ocupar-se com a quadratura do círculo –, a busca chegou ao fim.
A quadratura do círculo não foi apenas uma ambição dos luminares mais ou menos célebres, que trouxeram avanços ao conhecimento com seus esforços. Milhares de pessoas, ao longo dos anos, sofreram do que o matemático britânico Augustus De Morgan (1806-1871) chamou de morbus cyclometricus – a doença da quadratura do círculo que, segundo ele, afetava os entusiastas mal informados.
Uma dessas pessoas foi o contador e matemático amador argentino Elías O'Donnell. Em 1870, ele publicou um livro com "a mais íntima consciência de que, neste tratado, é demonstrada, da forma mais convincente e rigorosa, a desejada resolução exata da quadratura do círculo", segundo declarado pelo autor, logo na primeira página da obra.
"E, por mais grave que pareça esta afirmação, ela será verdadeira para todos os séculos da posteridade."
Detalhe da capa do livro de Elias O'Donnell, que pretendia resolver o problema da quadratura do círculo.
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Mas, desde 1801, já se sabia, graças a Gauss, que π (a área do círculo com raio 1) é transcendente e, por isso, a quadratura do círculo é impossível.
Em 1882, outro matemático alemão, Ferdinand Von Lindemann (1852-1939), demonstrou que, de fato, π é um número transcendental.
E, 45 anos antes, o matemático francês Pierre Wantzel (1814-1848) havia comprovado, em uma das sete páginas de um artigo de sua autoria, que os outros três problemas também são insolúveis.
Tudo isso é assombroso, pois comprovar que algo é impossível é imensamente difícil… e importante.
"Geralmente, quando pensamos que algo é impossível, acreditamos que seja muito difícil, que pode levar muito tempo ou algo assim", explica Richeson. "Mas, quando um matemático demonstra que algo é impossível, isso significa que, do ponto de vista lógico, aquilo não pode acontecer: não existe forma de proceder à trissecção de um ângulo geral. Não há forma de fazer a quadratura do círculo."
"Não se trata apenas de 'não somos suficientemente inteligentes', 'não nos esforçamos o suficiente' ou 'precisamos de mais tempo. É: 'paramos por aqui: é impossível'."
"Existem diversos teoremas de impossibilidade famosos na matemática e todos são muito venerados porque foi demonstrada a negação: que algo não pode acontecer", prossegue o matemático. "E este é um sucesso incrível."
Tentativas promissoras de resolver a quadratura do círculo transferiram o problema de geometria para a teoria dos grafos, mas usando computadores e não régua e compasso.
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Mas isso não significa que as pessoas se deem por vencidas.
Em 1897, por exemplo, o Senado de Indiana, nos Estados Unidos, discutiu um projeto de lei para legalizar um método de quadratura do círculo descoberto pelo médico e matemático amador Edwin L. Goodwin.
A lei procurava "introduzir uma nova verdade matemática". Ela foi inicialmente aceita por um comitê, até que foi finalmente rejeitada.
Conta-se que não existe matemático que não tenha recebido por e-mail soluções sobre a quadratura do círculo, duplicação de cubos ou trissecção de ângulos, de pessoas convencidas de terem encontrado a solução.
"Elas insistem por não entenderem o significado de 'impossível'", explica Richeson. E também porque as supostas soluções "são fáceis de descrever e brincar com elas". Por isso, eles tentam, acreditam ter resolvido "e enviam as soluções para os matemáticos das universidades".
"Com certeza, haverá um erro em alguma parte, seja ele matemático ou com as regras. De forma que, talvez, elas tenham encontrado uma forma de resolver algum desses problemas, mas não usando as regras clássicas."
Euclides construiu todo um arcabouço de sabedoria e possibilitou a criação de novas ideias, pois seus contemporâneos e as gerações seguintes continuaram tentando impulsionar o conhecimento, valendo-se apenas de régua e compasso.
💡 No caso destes quatro problemas, talvez se suspeitasse desde a Grécia antiga que a sua solução seria impossível. Mas tentar resolvê-los foi muito enriquecedor.

Claudine Gay foi acusada de ser conivente com manifestações antisemitas e, depois disso, começou a ser acusada de plágio em artigos acadêmicos, inclusive sua tese de doutorado. Claudine Gay em 25 de maio de 2023
Brian Snyder/Reuters
Claudine Gay, presidente da Universidade Harvard, uma das mais tradicionais dos Estados Unidos, pediu demissão nesta terça-feira (2).
Ela estava sendo pressionada a deixar o cargo após ter dado um depoimento no Congresso dos EUA sobre antisemitismo no campus da universidade. Desde então, começaram a surgir denúncias de que ela teria publicado artigos acadêmicos com trechos plagiados de outros estudos.
Gay estava no cargo desde julho.
Depoimento no Congresso
A polêmica começou após manifestações pró-Palestina de estudantes em universidades dos EUA. Gay e outros presidentes de universidades dos EUA foram convocados para prestar depoimento no Congresso.
Durante o depoimento dela, perguntaram a Gay se as manifestações de alunos de Harvard que pediam o genocídio do povo judeu seriam uma violação das regras de assédio da universidade. Gay então disse o seguinte: “Podem ser, dependendo do contexto”. Para os opositores de Gay, a frase foi evasiva e não foi suficientemente incisiva.
Posteriormente, ela chegou a pedir desculpas pela frase.
Depois do depoimento dela no Congresso, começaram a aparecer as acusações de plágio.
Inicialmente, três artigos acadêmicos dela foram analisados. Concluiu-se que ela não violou os padrões de pesquisa, mas que havia citações que foram feitas de forma equivocada. A presidente afirmou que ia pedir para inserir correções.
Em um segundo momento, apareceram outras duas acusações de problemas com citações dissertação de doutorado da presidente, de 1997.
Na segunda-feira (1º) surgiram novas acusações. Ela, então, renunciou.
Carta de Claudine Gay
Em sua carta de renúncia, Gay afirma que “ficou claro que o melhor para a Universidade Harvard é que eu renuncie e que nossa comunidade possa navegar esses momento de grandes desafios com foco na instituição, e não em um indivíduo”.
Ela disse também que tem disso estressante que as pessoas tenham colocado em dúvida seus compromissos em combater o ódio e se ater ao rigor acadêmico, que são “dois valores fundamentais para quem eu sou, e é assustador ser objeto de ataques pessoais e ameaças motivados por preconceito racial."

Com a ajuda do matemático italiano Alessio Figalli, vencedor da prestigiada Medalha Fields em 2018, investigamos um problema fascinante que remonta à época da Revolução Francesa.
Napoleão em 1810 (parte de um quadro de Joseph Chabord).
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O maior general da história, como reconhecido por muitos especialistas, foi um homem de paixões intensas. O que talvez não seja tão conhecido é que uma delas era a ciência.
Se eu não tivesse me tornado comandante-chefe e instrumento do destino de um grande povo, (…) teria me lançado no estudo das ciências exatas. Eu teria caminhado ao lado dos Galileus e dos Newtons. E, como tive êxito constante em meus grandes empreendimentos, também teria me destacado muito no trabalho científico. Teria deixado a memória de belas descobertas. Nenhuma outra glória teria tentado a minha ambição.
Ele não apenas amava a ciência, mas percebeu que os cientistas poderiam ajudá-lo em seu ambicioso projeto político.
👉🏾 É o que afirma no artigo Napoléon Bonaparte and Science o destacado matemático francês Étienne Ghys, pesquisador emérito do Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica. O imperador conquistou o apoio de grandes cientistas, como o matemático Gaspard Monge, considerado o inventor da geometria descritiva e pai da geometria diferencial.
Monge acompanhou Napoleão na campanha no Egito, que “terminou com uma derrota militar, mas com notável êxito científico”, escreveu Ghys.
“Já se tinha visto alguma vez na história um exército de invasores acompanhado por matemáticos, naturalistas, arqueólogos e filólogos?”
De volta a Paris, em 1799, Napoleão deu o golpe de estado que o levaria ao poder absoluto na França.
Sob a sua proteção, que incluía incentivos financeiros, prêmios e cargos de alta hierarquia para cientistas, a ciência francesa viveu um período verdadeiramente glorioso.
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A questão matemática do "transporte ótimo"
O transporte ótimo visa deslocar objetos de um lugar para outro da maneira mais eficiente e econômica possível.
Sua origem remonta ao final do século XVIII, à época da Revolução Francesa.
Gaspard Monge, grande matemático e também amigo de Napoleão.
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Foi formulado em 1781 pelo matemático Gaspard Monge, que percebeu a aplicação no campo militar para saber qual a melhor maneira de construir fortificações.
Ele viveu num período em que a Europa estava abalada por conflitos bélicos.
Foi com a ascensão de Napoleão ao poder que Monge conseguiu se dedicar totalmente à questão que o intrigava.
Como grande estrategista, o general foi também um divulgador da ciência aplicada à guerra.
Ele precisava urgentemente de uma resposta sobre as fortificações; não queria perder tempo, recursos ou mão de obra em suas campanhas.
Então Monge, que já era um conhecido matemático e amigo de Napoleão, viu-se no momento e no lugar perfeitos para continuar a se aprofundar no problema.
Complexidade
Em termos práticos, Monge, tal como Napoleão, queria saber onde construir fortificações para minimizar custos. Mas havia mais.
“Como cientista, Monge também estava interessado na questão teórica que estava por trás: como funciona o transporte ótimo em teoria?”, diz Alessio Figalli, professor da prestigiada Escola Politécnica Federal de Zurique.
Figalli, que conquistou reconhecimentos por suas contribuições no campo da matemática, ganhou a Medalha Fields em 2018, aos 34 anos, considerado o Prêmio Nobel de matemática.
O transporte ótimo é justamente um dos conceitos em que Figalli concentrou seu trabalho.
Alessio Figalli, o especialista em equações diferenciais parciais, também lecionou na França e nos EUA e recebeu inúmeras distinções. E teve até um asteroide nomeado em sua homenagem: 438523 Figalli.
LAURA LEZZA/GETTY IMAGES
“Monge começou a entender o problema a partir de uma perspectiva geométrica e, para isso, fez muitos desenhos”, explica.
📝 Imaginemos que temos duas cidades, A e B, e queremos construir uma fortificação em cada.
Se o objetivo é minimizar o transporte de materiais, é lógico que retiremos o que vamos precisar para a construção em A de um local próximo a A, e de um local próximo de B para o que vamos construir em B.
Não faria muito sentido extraí-los e enviá-los de outras partes mais distantes do país sem ser necessário.
“Se você só tem duas cidades e dois locais de extração, é muito fácil ver a solução: basta enviar o material do local mais próximo que houver”, diz Figalli, mas alerta:
“Se você começar a ter mais cidades e mais locais de extração, o problema se torna muito maior e entender o que enviar e para onde pode não ser tão óbvio.”
“Talvez a quantidade de material que extraio de um local não seja suficiente para todas as fortificações que tenho que construir naquela área e terei de trazer material de um local mais distante.”
“E se você começar a pensar em números maiores, por exemplo, 10 mil cidades e 200 pontos de extração, o problema fica mais complexo. Procure saber se existe uma teoria matemática geral que você possa usar.”
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Um olhar econômico
Monge realizou análises muito interessantes e avançou no problema.
Mas Figalli pede que lembremos que no século XIX não existiam matemáticos profissionais no sentido moderno: os cientistas faziam matemática e muitas outras coisas.
Além disso, foi um período em que se deu prioridade a outras teorias matemáticas.
O problema ganhou uma nova dimensão no século XX e serviu de base para uma teoria econômica.
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Foi assim que o problema do transporte ótimo caiu um pouco no esquecimento: “depois de Monge, por mais de cem anos não aconteceu muita coisa”.
Foi na década de 40 do século XX que um matemático e economista soviético resgatou a questão.
“Leonid Kantorovich realmente entendeu como atacar o problema”, diz o professor.
“Ele desenvolveu uma teoria matemática robusta para estudá-lo e, a partir disso, desenvolveu uma teoria econômica muito sólida que se poderia usar para resolver problemas muito concretos. Por exemplo, como as padarias poderiam planejar a melhor forma de enviar seus pães para os diferentes estabelecimentos da cidade.”
Em 1975, Kantorovich recebeu o Prêmio Nobel de Economia, juntamente com o holandês Tjalling C. Koopmans, pelo trabalho no campo da teoria econômica normativa, que é a teoria da alocação ótima de recursos.
Existem muitos problemas que podem ser resolvidos com o conceito de transporte ótimo.
“Pense no trajeto para o trabalho, que as pessoas fazem todos os dias. Qual a maneira mais eficiente de ser feito?”, pergunta o especialista.
Multidão caminha em uma mesma direção, no que parece ser a saída de uma plataforma de metrô.
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“Um dos motivos que torna esse problema difícil é que não se trata de um ganho pessoal, mas coletivo: não é que se queira minimizar o tempo que você gasta no deslocamento para o trabalho, o que se busca é minimizar o tempo total de deslocamento para o trabalho em todas as cidades.”
“Isso pode significar que será preciso viajar um pouco mais, mas se pensarmos no bem-estar geral da população, a solução será a melhor possível.”
Que tal embarcar no projeto da grande felicidade?
Nos fluidos
Na década de 1980, o problema tomou um rumo inesperado.
O matemático francês Yann Brenier percebeu que o conceito de transporte ótimo poderia ser usado no estudo de fluidos.
“Foi mágico”, diz Figalli. “Ninguém esperava.”
Como a água se comporta? A teoria do transporte ótimo pode esclarecer.
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“Brenier estava estudando o movimento da água, problemas relacionados à dinâmica dos fluidos, que é um campo da matemática e também da engenharia em que você tenta entender como a água é transportada, como ela se comporta em uma tubulação, em um recipiente, mas também em situações de fenômenos físicos complexos, como um furacão.”
“Não é que Brenier tenha repentinamente feito uma nova descoberta em dinâmica de fluidos, o que foi surpreendente foi que ele fez a ligação com o conceito de transporte ótimo. As pessoas perceberam que esse problema era mais rico do que parecia.”
“E os matemáticos adoram isso, fazer conexões entre problemas.”
Surgiu uma espécie de renascimento do problema e na década de 90 houve um boom. “Foi como se tivesse virado moda, ficou super cool.”
“Os matemáticos são animais sociais. Embora exista a lenda de que ficamos em nossas cavernas trabalhando sozinhos, na realidade a matemática é uma atividade muito social em que a troca de ideias é constante.”
Na moda
O início dos anos 2000 foi a época de ouro do problema, diz o professor.
Ele era um estudante muito jovem na Scuola Normale di Pisa e também se interessou por transporte ótimo. Ele finalmente foi conquistado quando estava no último ano do mestrado. No ano seguinte (em apenas um ano) obteria o doutorado.
“Esse problema é muito complexo. São tantas variáveis, possibilidades, que é preciso construir uma nova teoria. O que foi feito até agora não é suficiente para resolvê-lo e essa é a beleza: esse problema obriga a desenvolver novas matemáticas.”
Você tem uma resposta final?, pergunto.
“Na matemática nunca há uma resposta final”, responde ele. “Num problema como este há sempre coisas novas; não é que esteja sozinho, isolado, este é um problema macro.”
E me convida a pensar no sangue que circula pelo meu corpo como um fenômeno de transporte.
“Você está interessado em fortificações? Você está interessado em sangue? Dependendo do problema, existem respostas diferentes.”
É assim que entendo o que ele quer dizer quando afirma que “nunca há uma resposta final”: embora possa haver soluções para contextos específicos e necessidades concretas, não será a resposta definitiva para tudo o que o conceito de transporte ótimo pode implicar.
E suas aplicações parecem tão vastas quanto o próprio céu.
Entre nuvens
E assim, sem ir muito longe, Figalli me conta sobre as aplicações na meteorologia.
“Do ponto de vista teórico, o movimento das nuvens pode ser entendido como um problema de transporte ótimo: as nuvens são feitas de partículas de água que se movem à medida que elas o fazem.”
Céu azul com muitas nuvens sobre a cidade de Belo Horizonte (MG)
Raquel Freitas/TV Globo
As técnicas que foram desenvolvidas no estudo do transporte ótimo podem ajudar a analisar a evolução das nuvens.
“Como fazer a ligação entre essas pequenas partículas de água que se movem com essas grandes nuvens? Como deduzir a pressão, a velocidade com que viajam? Como você conecta esta descrição microscópica com esta descrição macroscópica? Como você pode traçar a rota? Essa é uma questão matemática.”
E há um princípio básico: “A natureza quer ser eficiente: gastar o mínimo de energia para fazer o que tem de fazer e, por essa razão, o transporte ótimo e a natureza funcionam bem juntos”.
Mas também funciona bem em outros contextos. Pensemos em tecnologia: em vez de partículas de água, imagine pixels, e, em vez de nuvens, pense em fotos.
Nos computadores
No aprendizado de máquina, ramo da inteligência artificial, o objetivo é treinar programas de computador para executar tarefas específicas. Uma delas é o reconhecimento de imagens.
Imagine que no seu computador você tem uma coleção de fotos de animais – há cachorros, gatos, elefantes, vacas – e recebe uma nova imagem de um animal que você não sabe o que é.
“Preciso comparar imagens, como posso fazer isso? O transporte ótimo pode fazer isso por você”, diz Figalli.
“Quero transportar os pixels, ou o que compõe aquela nova foto, para outra imagem e ver quanto custa esse processo. Se for muito pouco é porque a imagem em questão é semelhante à de referência. É muito provável que a minha foto seja de um cachorro, porque é muito parecida com a que já existe de um cachorro.”
“Mas se o transporte custa muito, significa que a imagem era muito diferente da imagem de um cachorro. Portanto, deve representar algo diferente.”
“O metaprincípio é que o transporte ótimo é uma maneira muito boa de comparar imagens, objetos e, uma vez feito isso, pode ser usado para treinar uma rede de inteligência artificial.”
E voltamos ao ponto da beleza.
“Você vê?”, o professor me diz com um sorriso.
“A matemática não se importa se o que você transporta é um objeto concreto ou abstrato. Pode ser material de construção, pão, pessoas indo trabalhar, uma imagem, um pixel. É sempre um objeto a partir do qual tiramos modelos, fazemos fórmulas, vira abstrato e você faz o que quiser. Você sempre tem novas aplicações.”
Na sua vida
É assim que o problema cuja formulação remonta ao século XVIII está presente em nossas vidas.
Pense por um momento em quando você se muda, diz Matteo Bonforte, professor da Universidade Autônoma de Madrid e membro do Instituto de Ciências Matemáticas da Espanha.
Na imagem, funcionários fazem mudança na cidade de Ribeirão Preto
Divulgação/Prefeitura de Ribeirão Preto
“Você tem que mudar as coisas de uma casa para outra e tem uma van ou um caminhão. Como colocar os seus pertences no caminhão da melhor forma, para que custe o mínimo possível: menos viagens, menos esforço para os encarregados?”
Para Bonforte, é fundamental continuar investigando problemas como o transporte ótimo.
“Alessio Figalli é uma dessas mentes maravilhosas das quais existe uma por geração.”
“É muito importante que matemáticos da primeira fila como ele, os top-top-top, dediquem-se a esses problemas, porque eles conseguem ver coisas que ‘os mortais comuns não vêem’, criam conexões entre coisas que parecem muito diferentes, mas que, com as lentes apropriadas, no fim, observa-se que o mecanismo subjacente, o princípio básico, é o mesmo e os une.”
Ele destaca que Figalli tem conseguido resolver problemas que estavam em aberto há muitos anos, o que faz com que a teoria desenvolvida seja aplicável a “problemas da vida real”.
“É fundamental que essas grandes figuras da matemática lidem com esses problemas porque eles também dão um impulso a toda a comunidade: muitos pesquisadores ‘entram na onda’, o problema vira ‘moda’ e isso gera um avanço no conhecimento espetacular, sempre pelo motivo de sermos animais sociais.”
Entenda se a palavra octilhão existe

Primeira pessoa negra e segunda mulher a se tornar reitora de prestigiada universidade americana, Claudine Gay se viu obrigada a abdicar do posto em meio a críticas alimentadas pela direita; seu mandato foi o mais curto na história da instituição. Reitora de Harvard, Claudine Gay, foi alvo de intensas críticas por parte de alguns políticos republicanos
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A renúncia de Claudine Gay, a primeira pessoa negra a se tornar reitora da prestigiada Universidade de Harvard, nos Estados Unidos, está sendo celebrada como uma grande vitória pelos conservadores que se opuseram a ela por motivos ideológicos desde que ela assumiu a vaga, em julho de 2023.
👉 Embora as alegações de plágio na tese de doutorado dela tenham sido um fator decisivo para que Gay deixasse o posto mais importante de Harvard, a saída dela é mais do que apenas um escândalo de desonestidade acadêmica.
Gay ficou em maus lençóis em dezembro de 2023 por sua participação em um painel do Congresso sobre antissemitismo nos campi universitários.
As respostas tépidas e burocráticas dos membros do painel, incluindo Gay, sobre como lidar com os apelos ao genocídio dos judeus levaram à renúncia da reitora da Universidade da Pensilvânia, Liz Magill.
Depois desse episódio, Harvard ofereceu apoio contínuo ao mandato de Gay como reitora. Mas a batalha não acabou.
❗ Para seus críticos de direita, Gay representa muito do que eles detestam no ensino superior americano moderno, que consideram dominado por uma ideologia de esquerda que coloca maior ênfase na diversidade étnica e de gênero do que no rigor acadêmico.
"Foi um exercício velado de raça e gênero quando escolheram Claudine Gay", escreveu nas redes sociais o candidato presidencial republicano Vivek Ramaswamy, formado em Harvard, após a renúncia.
O colunista do New York Times Bret Stephens, chamou a atenção para o histórico acadêmico relativamente fraco de Gay, de 53 anos, que não inclui livros publicados e apenas 11 artigos em periódicos científicos. Ele condenou o que chamou de "modelo de justiça social do ensino superior".
Ativista de direita Christopher Rufo ajudou a divulgar história de plágio de Gay
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Ele escreveu que a "podridão intelectual" no ensino superior americano "não vai parar de se espalhar até que as universidades retornem à ideia de que seu propósito central é identificar, nutrir e libertar as melhores mentes, e não arquitetar utopias sociais".
🚨 As alegações de plágio que levaram à renúncia de Gay foram trazidas à tona por Christopher Rufo, um ativista de direita conhecido pela batalha cultural sobre o suposto ensino da teoria crítica da raça nas escolas dos Estados Unidos.
Numa publicação nas redes sociais em dezembro de 2023, Rufo expôs o que seria uma estratégia para os conservadores buscando dar visibilidade a histórias que, na opinião deles, os principais meios de comunicação estão ignorando.
Lançamos a história de plágio de Claudine Gay pela direita.
"O próximo passo é introduzir isso no aparato midiático controlado pela esquerda, legitimando a narrativa para atores de centro-esquerda que podem derrubá-la. Então, fazer pressão".
Os esforços de Rufo foram amplificados por meios de comunicação como o New York Post e o Washington Free Beacon, que na segunda-feira (1º/1) publicaram detalhes de uma nova denúncia anônima apresentada a Harvard incluindo evidências adicionais de suposto plágio no trabalho publicado por Gay.
➡️ Na sua carta de renúncia, Gay disse que recebeu "ataques pessoais e ameaças alimentadas por uma animosidade racial", acrescentando que as últimas semanas deixaram claro que é preciso fazer mais para "combater o preconceito e o ódio em todas as suas formas".
Foi um sentimento ecoado, com raiva mais concentrada, por parte da esquerda.
Então, o que aprendemos é o seguinte: fanáticos de má-fé que fingem estar preocupados com o antissemitismo usarão tranquilamente as mulheres de cor — especialmente as negras — como bode expiatório e para-raios para grandes questões sistêmicas.
"E que as pessoas que desejam a manutenção desse status-quo vão fazer de tudo para mantê-lo inalterado."
Nas redes sociais, autora Celeste Ng acusou Harvard de ceder "aos fascistas"
Getty Images via BBC
A atual polêmica de Harvard atingiu o seu auge com a renúncia de Gay, mas o esforço conservador mais amplo para minar — e, em última análise, suplantar — as instituições de ensino superior dominadas pelos liberais continua.
🎯 Na Flórida, o governador Ron DeSantis — atual candidato presidencial republicano — substituiu a liderança do New College of Florida, cancelando seus programas de diversidade e inclusão, demitindo membros do corpo docente e colocando ativistas de direita, incluindo Rufo, entre seus administradores.
Seu objetivo, em parte, é oferecer um contraponto conservador à moderna faculdade de artes liberais.
🎯 Donald Trump, como parte do seu plano "Agenda 47" para um segundo mandato, apelou para mudanças na forma como as universidades americanas são creditadas, para enfatizar a "defesa da tradição americana e da civilização ocidental".
Ele também se comprometeu a acabar com os programas de equidade, forçar as universidades a reduzir os custos gerais e tributar as doações das escolas que não respeitarem esses pontos.
Harvard poderá, em última análise, substituir Gay por alguém que tenha uma disposição acadêmica e política semelhante e que continue defendendo formas de diversificar o corpo discente de Harvard.
Mas, ao derrubar a reitora de uma das universidades mais prestigiadas do país — aquela envolvida na luta do Supremo Tribunal sobre as preferências raciais nas admissões no ano passado — os conservadores alcançaram uma vitória substancial a partir da qual podem avançar.
VÍDEOS DE EDUCAÇÃO

Este ano, pela primeira vez, programa terá apenas uma edição — só em janeiro, sem o processo seletivo que usualmente ocorre no meio do ano. Destaque do g1: Sisu terá única edição em janeiro deste ano
As universidades da Bahia vão oferecer 5.738 vagas o Sistema de Seleção Unificada (Sisu) neste ano. Em 2024, pela primeira vez, o programa terá apenas uma edição — só em janeiro, sem o processo seletivo que ocorria no meio do ano.
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Por meio dessa etapa única, os candidatos poderão usar as notas do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) 2023 para concorrer, em universidades públicas, a cursos em que as aulas começarão tanto no primeiro quanto no segundo semestre. [Entenda abaixo].
Sisu 2024, único do ano, abrirá inscrições em 22 de janeiro; veja cronograma
De acordo com o edital publicado no Diário Oficial da União, as inscrições ficarão abertas entre os dias 22 e 25 de janeiro.
Veja abaixo a quantidade de vagas por universidades:
Uefs
Divulgação
Universidade Estadual de Feira de Santana (Uefs): 2.134 vagas distribuídas em 31 cursos de graduação
Uneb, em Salvador
Divulgação/Uneb
Universidade Estadual da Bahia (Uneb): 1.865 vagas em 137 cursos
Uesc
Isabella Freitas/TV Santa Cruz
Universidade Estadual de Santa Cruz (Uesc): 1.746 vagas em 34 cursos
Uesb
Reprodução/TV Sudoeste
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (Uesb): 993 vagas distribuídas em 47 cursos
Tire suas dúvidas abaixo e veja o cronograma completo:
➡️Poderei escolher em qual semestre vou entrar na faculdade? Não. Caberá à universidade, por meio da ordem da lista de classificação de candidatos, selecionar quem estudará em cada semestre.
➡️Quem está apto a participar? Alunos que tenham feito o Enem 2023 e tirado nota acima de zero na redação. Treineiros não serão aceitos.
➡️Quantas opções de vaga cada um escolhe? Na inscrição, o candidato deve selecionar até duas opções de vaga, que podem ser alteradas quantas vezes ele quiser, entre 22 e 25 de janeiro. Valerão as que estiverem marcadas no sistema às 25h59 do dia 25. Uma dica é monitorar as notas de corte parciais divulgadas pelo Inep a cada madrugada. Elas dão uma boa noção das chances de classificação em cada curso.
➡️As cotas continuarão valendo? Sim, mas com uma mudança.
Todos os candidatos concorrerão, primeiramente, às vagas de ampla concorrência.
Caso não alcancem as notas nesta modalidade e façam parte de algum dos grupos de cotas (os critérios são de raça e de renda), aí, sim, entrarão na disputa pelo benefício.
Com isso, se uma pessoa autodeclarada preta, por exemplo, tirar uma nota mais alta que a exigida na ampla concorrência, será aprovada na "lista geral" e não tirará a vaga de um cotista com desempenho mais baixo.
Até o Sisu 2023, quem tinha direito às cotas já participava, desde o início, de uma classificação à parte, separada da ampla concorrência.
➡️Qual o cronograma?
Inscrições: de 22 a 25 de janeiro de 2024
Resultados da 1ª chamada: 30 de janeiro de 2024
Matrículas: 1º a 7 de fevereiro de 2024
Participação na lista de espera: manifestar interesse entre 30 de janeiro e 7 de fevereiro de 2024
Resultado das listas de espera: datas serão definidas por cada universidade
Atenção: mesmo os candidatos que forem aprovados para o 2º semestre deverão seguir o calendário acima, ou seja, fazer a matrícula em fevereiro.
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