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Conhecido desde 2012 como 'Patrono da Educação Brasileira', Freire atuou principalmente na educação de adultos em áreas proletárias de Pernambuco. Veja aspectos de seu legado que ainda podem ser aplicados nas escolas e universidades, segundo estudiosos. O educador e filósofo Paulo Freire posa para foto durante entrevista concedida para o Grupo Estado em SP, em 1993.
Clovis Cranchi/Estadão Conteúdo/Arquivo
Neste 19 de setembro de 2024, o recifense Paulo Freire completaria 103 anos. Segundo estudiosos ouvidos pelo g1, as ideias do educador continuam representando um norte para as escolas e universidades que veem a sala de aula como mecanismo de transformação social.
"Por vivermos tempos repressivos, o legado dele volta ainda com mais força", afirma Walkyria Monte Mór, professora da Universidade de São Paulo (USP) e membro do Projeto Nacional de Letramentos: Linguagem, Cultura, Educação e Tecnologia.
Desde 2012, Freire passou a ser considerado por lei o "Patrono da Educação Brasileira". Seu trabalho é reconhecido mundialmente: ele tem títulos em 41 instituições de ensino, como nas universidades de Harvard, Cambridge e Oxford.
Em livros como "Pedagogia do Oprimido", o mais famoso deles, o autor defende o papel primordial da educação no processo de conscientizar o povo e levá-lo ao senso crítico.
Abaixo, veja em que aspectos o legado de Paulo Freire ainda pode ser considerado atual, na visão de três professores que estudam sua obra:
1-🎒Importância de compreender a realidade do aluno
Freire defendia a teoria chamada "pedagogia do afeto", explica Kleber Silva, professor da Universidade de Brasília (UnB).
"Ele dizia que o professor deveria ser sensível à história de vida dos alunos, resgatando seus sofrimentos, mazelas e cicatrizes. A partir dessa vivência, o conhecimento seria construído."
Na prática, isso ocorreria por meio do diálogo aberto, com empatia e constantes trocas de conhecimento.
Pensando em um contexto atual: para uma aprendizagem efetiva, um professor que recebeu os alunos nas salas de aula, após mais de um ano de escolas fechadas na pandemia, não deveria se atentar somente ao cumprimento de currículos. Precisaria praticar a afetividade e "abrir a porta" para a conversa.
Dessa forma, para Freire, o estudante entenderia que também pode contribuir com o desenvolvimento de todos, descobriria mais sobre sua identidade e ficaria mais interessado e criativo.
Paulo Freire concede entrevista ao Jornal da Tarde, ao voltar do exílio (1979), em sua casa na cidade de São Paulo.
João Pires/Estadão Conteúdo/Arquivo
2- 📖Alfabetização de adultos
Nas décadas de 1950 e 1960, Freire dedicou-se à educação de adultos em áreas proletárias (urbanas e rurais) de Pernambuco.
Pelo método de alfabetização que até hoje leva seu nome (e que foi colocado em prática pela primeira vez em Angicos, no Rio Grande do Norte, em 1962), as aulas partem de elementos do cotidiano dos alunos analfabetos.
Em vez de tomar como base "frases feitas" de apostilas, como "o bebê babou", o educador baseia-se no vocabulário que faz parte do dia a dia do trabalhador: "cana", "enxada", "terra" e "colheita", no caso de uma turma de agricultores.
"É tudo feito a partir do contexto-realidade dos alunos. O método fônico, por exemplo, foca o processo de alfabetização nos sons, a partir de frases distantes da realidade das crianças. Freire defende o contrário: que as aulas trabalhem a partir do contexto dos alunos", diz a professora da USP.
3- 💡Formação de cidadãos críticos
Monte Mór, docente da USP, afirma que, pelos ensinamentos de Paulo Freire, "o aluno percebe que tudo o que aprende é fruto do olhar de certas pessoas."
"Os estudantes precisam ter essa consciência sobre ponto de vista, para aprenderem a ter outras perspectivas de um mesmo fato e chegarem ao desenvolvimento do senso crítico", explica.
Esse aspecto da obra freireana é o que gera tanta resistência de certos grupos ideológicos, segundo a professora. O ex-ministro da Educação Abraham Weintraub, por exemplo, chegou a dizer que o pedagogo "representa o fracasso total e absoluto" dos índices de educação no Brasil.
"Paulo Freire foi um revolucionário que tentou mostrar as mazelas sociais. Quanto mais tivermos seres pensantes, menos isso é interessante para quem está no poder", afirma Rosana Nunes, pesquisadora da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp).
"A partir do momento em que temos alunos problematizadores, que não aceitam de imediato o que é ensinado, teremos menos pessoas alienadas. Isso nem sempre é interessante para a política brasileira", diz.
4- 🤥Combate às fake news
Freire pregava que a educação deveria ser um processo bilateral, em que o professor também "é um aluno". É um combate à ideia da educação tradicional, em que o docente ensina, e o os estudantes são "receptáculos vazios" que apenas escutam o que é dito.
"Um aluno com consciência freireana lê um texto e reage; não aceita fake news, porque tem senso crítico. Vai captar o que é dito [em uma mensagem falsa] e ver o que está por trás disso, com que interesse foi produzido, em qual contexto", exemplifica Silva, da UnB.
5- 🧩Respeito às diferenças
Walkyria Monte Mór expõe que a pedagogia de Paulo Freire "ajuda a construir a identidade das pessoas".
"Elas entendem que existiu um projeto [na educação tradicional] de instituir o que é certo e o que é errado. Passam a perceber que há outras formas e ideias que não podem ser consideradas inferiores."
Um exemplo apresentado por Monte Mór é o ensino da gramática normativa. Dependendo de como a aula for ministrada, o estudante pode entender que determinados modos de falar e escrever são menos respeitáveis do que aqueles que obedecem à norma padrão da língua.
"Quando a gente entende que existem diferenças culturais e subjetivas, começa a formar jovens mais tolerantes", diz a professora.
6- 💪Empoderamento dos mais pobres
Quando Freire escreve que a educação é para todos, "refere-se aos que estão à margem da sociedade", explica Silva, da UnB. "São os indígenas, os surdos, os pobres, os negros. É dar oportunidade e empoderar essas pessoas por meio da educação."
Segundo Walkyria Monte Mor, a política de cotas em universidades, por exemplo, é um movimento freireano.
"Aos poucos, estamos nos abrindo para esse processo de mudança."
Observação: As entrevistas acima foram realizadas pelo g1 em 2021, no centenário de Paulo Freire, e republicadas nesta sexta-feira (20).
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Economista, influenciador e ex-BBB fez PhD na Universidade da Califórnia (EUA) e, neste mês, concluiu um 'curso de verão' em Florença (Itália). 'Levo de 8 a 10 horas para escrever dois parágrafos, mas preciso aceitar que sou um estrangeiro em processo de evolução do idioma', diz. Quer estudar fora? Gil do Vigor dá dicas de como ‘não se lascar’
“Eita, como ele vigora!”, diz o economista e ex-BBB Gil do Vigor, a respeito dele mesmo. E com razão: o pernambucano de 33 anos foi aprovado, nesta quinta-feira (19), para estudar economia do crime na Universidade de Chicago, nos Estados Unidos.
Gil concilia a carreira artística – apresentação de quadros em programas de variedades e dezenas de parcerias publicitárias – com um currículo lattes “internacional”, que é, sem dúvidas, motivo de regozijo (impossível não usar essa palavra).
Depois de fazer a graduação, o mestrado e o doutorado na Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), ele saiu do “BRA-SILL” e:
cursou o PhD na Universidade da Califórnia em Davis, nos Estados Unidos;
neste mês, ainda fez um summer school (curso de verão de curta duração) no Centro Studi Luca d’Agliano, em Florença, na Itália, com aulas em um castelo na Toscana;
será pesquisador em Chicago;
além de planejar ser “aluno-visitante” na Universidade de Princeton, nos EUA, em 2025.
➡️Em entrevista ao g1, Gil contou os detalhes da sua experiência como estudante estrangeiro – tanto das vezes em que “se lascou” quanto dos momentos das “cachorradas” e “tchaqui tchaquis” (calma, o texto é liberado para menores de 18 anos). Ainda deu dicas para superar as dificuldades com a língua inglesa e suportar a pressão do ambiente acadêmico.
O ex-BBB é tão ligado a temas de educação que até prestará o Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) em novembro, para incentivar que mais jovens façam a prova.
“Se uma pessoa que tinha desistido de participar mudar de ideia depois de ver meu exemplo, já valeu a pena. Quero que enxerguem o Enem com a devida importância que ele tem”, diz.
🌍Como encarar outro idioma?
Gil do Vigor
Reprodução
Gil afirma que não é preciso ser proficiente em inglês (ou em outra língua estrangeira) para aceitar o desafio de estudar fora.
“Eu passo um dia inteiro, de 8 a 10 horas, para escrever dois parágrafos – e, às vezes, ainda apago tudo no dia seguinte”, diz.
“Eu ficava me cobrando muito, mas preciso aceitar que sou um estrangeiro em processo de evolução do idioma. E os professores entendem essa falta de fluência no começo. Obviamente, é esperado que o aluno se esforce, se dedique e, com o tempo, melhore. O mais importante é que ele se faça entender.”
Um momento em que Gil diz que “se lascou” foi quando, em março de 2023, mesmo dominando todo o conteúdo de uma prova de macroeconomia, perdeu quase todos os pontos ao confundir a tradução de apenas um termo.
"Eu ia tirar 10. Mas a palavra errada dava o sentido inverso do que eu queria falar. Mudou o contexto", desabafou em um vídeo postado no Instagram.
Ao g1, ele relembra que o episódio o fez chorar, mas diz que, com o tempo, passou a ser mais gentil consigo mesmo.
“Foi um processo de aprendizado. Somos seres humanos imperfeitos. Quantas pessoas, no processo de aprenderem um idioma, não acabam colocando uma palavra errada que altera o entendimento?”
📖No “manual de sobrevivência” para o estudante estrangeiros, Gil recomenda:
Buscar apoio de conhecidos e não ter vergonha de pedir ajuda -> “Escrevo uma página, mando para todos os meus amigos e falo: ‘gente, me digam se está bom ou se está ruim’. É um processo em que a gente vai melhorando. O mundo acadêmico é feito dessas trocas”, afirma o economista.
Antes de entrevistas de processos seletivos, treinar as possíveis perguntas -> “Eu pego algumas questões básicas e treino o que responder em cima daquilo. Se você ficar nervoso na hora, vá falando do jeito que conseguir. Dá para meter um português ali no meio; o importante é tentar. Vão para cima!”.
Tentar automatizar o inglês aos poucos -> “Hoje, eu já consigo formular alguns parágrafos em inglês sem precisar pensar antes em português. Mas, no começo, não saía. Eu escrevia em português, sabendo o que eu queria dizer, e depois começava a escrever em inglês”, afirma.
Ele dá um exemplo sobre a dica nº 3:
“Não era uma tradução exata, mas me ajudava porque aí eu sabia mais ou menos o conteúdo do que tinha de colocar. Por exemplo: ‘Pernambuco, durante anos, foi o estado da região Nordeste com a maior taxa de homicídios entre jovens’. Aí escrevia em inglês e depois via se estava legal: ‘One of the biggest issues in Pernambuco, a state from Brazil, …’”
🚧E a saúde mental? Dá uma bagunçada?
O que Gil colocaria no paredão (e ainda torceria para que a rejeição fosse maior do que a da Karol Conká no BBB21)? A ansiedade causada pela pressão do mundo acadêmico.
“Tive diversas crises, a ponto de ir parar no hospital, achando que estava tendo um ataque cardíaco. Eu pensava que não ia conseguir mais e falava: ‘tô morrendo, tô morrendo!’. Mas era só a minha mente”, diz.
“Sei que não é uma realidade só minha. É comum que isso aconteça na universidade. Estou me tratando, acompanhado por uma psicóloga.”
Aliado ao atendimento terapêutico, outro elemento essencial para a recuperação de Gil foi o “pacote de distrações”:
Vamos ao manual:
Buscar ter ao menos um momento de lazer e distração durante o dia -> “Pode ser algo de entretenimento, uma academia, um namoro, qualquer coisa que te tire disso [dos afazeres relacionados aos estudos]. “Para sair das crises, eu mudava o foco: via uma série, ouvia música, relaxava. As pessoas me perguntavam como eu conseguia fazer o PhD e ainda ver BBB. E eu digo: como eu faria o PhD sem ver BBB? Era meu escape.”
Descobrir novas formas de lazer -> “Hoje, tenho meus amigos da igreja. Toda terça e quinta, quando estou nos Estados Unidos, jogo vôlei à noite com eles. Vamos comer alguma coisa, conversar sobre assuntos gerais, fazer um esporte. Faz tempo que não tenho nenhuma crise”, diz.
🐶Foco — e controle nas ‘cachorradas’
Gilberto Nogueira, o Gil do Vigor, ficou em quarto lugar no BBB
Reprodução/TV Globo
Gil diz que é importante se divertir, mas calma lá: é preciso manter a disciplina, explica.
“Eu não bebo durante a semana, porque estou estudando e tenho essa consciência. Quando são férias, aí, sim, vigoro! Mas, durante o período de aulas, evito. Na Itália, a gente saía para conversar, tomar um suco”, conta.
E as “cachorradas” também foram controladas — para que nada tirasse o foco do summer school.
“Não teve tchaqui tchaqui, mas dei um selinho lá. Não posso dizer em quem, mas não era brasileiro!”, brinca.
O economista aproveitou o tempo livre durante a estada em Florença para tirar dúvidas, fazer contatos e conhecer coautores para possíveis pesquisas no futuro (na área de economia do crime).
“A gente debatia a desigualdade como motivadora de conflitos. Foi superlegal!”, conta.
E só um participante do curso, que era brasileiro, sabia quem é Gil do Vigor — mas manteve a discrição. Quando, no fim da viagem, o restante da turma encontrou o ex-BBB no Instagram, foi uma festa. Começaram a disparar perguntas: “Como você tem tantos seguidores? Como assim? Olha os famosos que te seguem!!”.
“Foi aquela cachorrada, todo mundo resenhando”, brinca Gil. “Ou cachorrated.”

Economista, influenciador e ex-BBB fez PhD na Universidade da Califórnia (EUA) e, neste mês, concluiu um 'curso de verão' em Florença (Itália). 'Levo de 8 a 10 horas para escrever dois parágrafos, mas preciso aceitar que sou um estrangeiro em processo de evolução do idioma', diz. “Eita, como ele vigora!”, diz o economista e ex-BBB Gil do Vigor, a respeito dele mesmo. E com razão: o pernambucano de 33 anos foi aprovado, nesta quinta-feira (19), para estudar economia do crime na Universidade de Chicago, nos Estados Unidos.
Gil concilia a carreira artística – apresentação de quadros em programas de variedades e dezenas de parcerias publicitárias – com um currículo lattes “internacional”, que é, sem dúvidas, motivo de regozijo (impossível não usar essa palavra).
Depois de fazer a graduação, o mestrado e o doutorado na Universidade Federal de Pernambuco, ele saiu do “BRA-SILL” e:
cursou o PhD na Universidade da Califórnia em Davis, nos Estados Unidos;
neste mês, ainda fez um summer school no Centro Studi Luca d’Agliano, em Florença, na Itália, com aulas em um castelo na Toscana;
será pesquisador em Chicago;
além de planejar ser “aluno visitante” na Universidade de Princeton, nos EUA, em 2025.
➡️Em entrevista ao g1, Gil contou os detalhes da sua experiência como estudante estrangeiro – tanto das vezes em que “se lascou” quanto dos momentos das “cachorradas” e “tchaqui tchaquis” (calma, o texto é liberado para menores de 18 anos). Ainda deu dicas para superar as dificuldades com a língua inglesa e suportar a pressão do ambiente acadêmico.
O ex-BBB é tão ligado a temas de educação que até prestará o Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) em novembro, para incentivar que mais jovens façam a prova.
“Se uma pessoa que tinha desistido de participar mudar de ideia depois de ver meu exemplo, já valeu a pena. Quero que enxerguem o Enem com a devida importância que ele tem”, diz.
🌍Como encarar outro idioma?
Gil do Vigor
Reprodução
Gil afirma que não é preciso ser proficiente em inglês (ou em outra língua estrangeira) para aceitar o desafio de estudar fora.
“Eu passo um dia inteiro, de 8 a 10 horas, para escrever dois parágrafos – e, às vezes, ainda apago tudo no dia seguinte”, diz.
“Eu ficava me cobrando muito, mas preciso aceitar que sou um estrangeiro em processo de evolução do idioma. E os professores entendem essa falta de fluência no começo. Obviamente, é esperado que o aluno se esforce, se dedique e, com o tempo, melhore. O mais importante é que ele se faça entender.”
Um momento em que Gil diz que “se lascou” foi quando, em março de 2023, mesmo dominando todo o conteúdo de uma prova de macroeconomia, perdeu quase todos os pontos ao confundir a tradução de apenas um termo.
"Eu ia tirar 10. Mas a palavra errada dava o sentido inverso do que eu queria falar. Mudou o contexto", desabafou em um vídeo postado no Instagram.
Ao g1, ele relembra que o episódio o fez chorar, mas diz que, com o tempo, passou a ser mais gentil consigo mesmo.
“Foi um processo de aprendizado. Somos seres humanos imperfeitos. Quantas pessoas, no processo de aprenderem um idioma, não acabam colocando uma palavra errada que altera o entendimento?”
📖No “manual de sobrevivência” para o estudante estrangeiros, Gil recomenda:
Buscar apoio de conhecidos e não ter vergonha de pedir ajuda -> “Escrevo uma página, mando para todos os meus amigos e falo: ‘gente, me digam se está bom ou se está ruim’. É um processo em que a gente vai melhorando. O mundo acadêmico é feito dessas trocas”, afirma o economista.
Antes de entrevistas de processos seletivos, treinar as possíveis perguntas -> “Eu pego algumas questões básicas e treino o que responder em cima daquilo. Se você ficar nervoso na hora, vá falando do jeito que conseguir. Dá para meter um português ali no meio; o importante é tentar. Vão para cima!”.
Tentar automatizar o inglês aos poucos -> “Hoje, eu já consigo formular alguns parágrafos em inglês sem precisar pensar antes em português. Mas, no começo, não saía. Eu escrevia em português, sabendo o que eu queria dizer, e depois começava a escrever em inglês”, afirma.
Ele dá um exemplo sobre a dica nº 3:
“Não era uma tradução exata, mas me ajudava porque aí eu sabia mais ou menos o conteúdo do que tinha de colocar. Por exemplo: ‘Pernambuco, durante anos, foi o estado da região Nordeste com a maior taxa de homicídios entre jovens’. Aí escrevia em inglês e depois via se estava legal: ‘One of the biggest issues in Pernambuco, a state from Brazil, …’”
🚧E a saúde mental? Dá uma bagunçada?
O que Gil colocaria no paredão (e ainda torceria para que a rejeição fosse maior do que a da Karol Conká no BBB21)? A ansiedade causada pela pressão do mundo acadêmico.
“Tive diversas crises, a ponto de ir parar no hospital, achando que estava tendo um ataque cardíaco. Eu pensava que não ia conseguir mais e falava: ‘tô morrendo, tô morrendo!’. Mas era só a minha mente”, diz.
“Sei que não é uma realidade só minha. É comum que isso aconteça na universidade. Estou me tratando, acompanhado por uma psicóloga.”
Aliado ao atendimento terapêutico, outro elemento essencial para a recuperação de Gil foi o “pacote de distrações”:
Vamos ao manual:
Buscar ter ao menos um momento de lazer e distração durante o dia -> “Pode ser algo de entretenimento, uma academia, um namoro, qualquer coisa que te tire disso [dos afazeres relacionados aos estudos]. “Para sair das crises, eu mudava o foco: via uma série, ouvia música, relaxava. As pessoas me perguntavam como eu conseguia fazer o PhD e ainda ver BBB. E eu digo: como eu faria o PhD sem ver BBB? Era meu escape.”
Descobrir novas formas de lazer -> “Hoje, tenho meus amigos da igreja. Toda terça e quinta, quando estou nos Estados Unidos, jogo vôlei à noite com eles. Vamos comer alguma coisa, conversar sobre assuntos gerais, fazer um esporte. Faz tempo que não tenho nenhuma crise”, diz.
🐶Foco — e controle nas ‘cachorradas’
Gilberto Nogueira, o Gil do Vigor, ficou em quarto lugar no BBB
Reprodução/TV Globo
Gil diz que é importante se divertir, mas calma lá: é preciso manter a disciplina, explica.
“Eu não bebo durante a semana, porque estou estudando e tenho essa consciência. Quando são férias, aí, sim, vigoro! Mas, durante o período de aulas, evito. Na Itália, a gente saía para conversar, tomar um suco”, conta.
E as “cachorradas” também foram controladas — para que nada tirasse o foco do summer school.
“Não teve tchaqui tchaqui, mas dei um selinho lá. Não posso dizer em quem, mas não era brasileiro!”, brinca.
O economista aproveitou o tempo livre durante a estada em Florença para tirar dúvidas, fazer contatos e conhecer coautores para possíveis pesquisas no futuro (na área de economia do crime).
“A gente debatia a desigualdade como motivadora de conflitos. Foi superlegal!”, conta.
E só um participante do curso, que era brasileiro, sabia quem é Gil do Vigor — mas manteve a discrição. Quando, no fim da viagem, o restante da turma encontrou o ex-BBB no Instagram, foi uma festa. Começaram a disparar perguntas: “Como você tem tantos seguidores? Como assim? Olha os famosos que te seguem!!”.
“Foi aquela cachorrada, todo mundo resenhando”, brinca Gil. “Ou cachorrated.”

Em busca da resposta de uma série de somas matemáticas infinita, Luigi Guido Grandi afirmou ter achado a prova matemática da Criação. Uma representação da série de Grandi
Caroline Souza/BBC
A matemática poderia explicar o significado da vida, do universo e de todo o resto? Vai saber. Mas sempre vale tentar. Uma das tentativas de demonstrar a probabilidade de algo tão desconcertante como o início de tudo foi com algo que está representado como você vê na imagem acima.
Com ∑, ∞ e vários n pode parecer um pouco intimidador. Mas tudo isso pode ser representado de outra forma: 1 − 1 + 1 − 1 +…
São operações simples, mas se as repetirmos ao infinito, tornam-se uma soma que ocupou os maiores matemáticos desde o século 18.
🤔A grande questão era: qual é o resultado dessa soma infinita? Uma resposta intuitivamente óbvia é que não há resposta: se continuar infinitamente, se alterará entre 0 e 1 sem nunca chegar a valor único.
No entanto, essa é apenas uma das 4 opções consideradas ao longo do tempo.
🧩E talvez a mais surpreendente seja que a que mais convenceu o primeiro matemático a chamar a atenção para este quebra-cabeça conhecido como série Grandi.
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O instigador
As rosas polares intrigam matemáticos e artistas desde que foram descritas pela primeira vez por Guido Grandi no século XVIII
Anonmoos
Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) foi um padre, filósofo, matemático e engenheiro nascido em Cremona, hoje na Itália.
Seu interesse pela matemática demorou a surgir, mas com seu primeiro livro, "Geometrica divinatio Vivianeorum problematum", publicado em 1699, ele ganhou reconhecimento no seu e em outros países.
Sua reputação o levaria a virar, em 1707, o matemático da corte do Grão-Duque da Toscana, Cosme 3º de Medici, e no cargo foi responsável por importantes projetos de engenharia, incluindo a drenagem do Vale de Chianna.
Também colaborou na publicação da primeira edição das obras de Galileu Galilei (1718), publicou uma versão italiana dos "Elementos" de Euclides (1731), aconselhou o Papa Clemente sobre a reforma do calendário e introduziu na Itália as ideias de Gottfried Leibniz sobre cálculo.
Admirado também no exterior, tornou-se membro da prestigiada Royal Society of London em 1709, depois de Isaac Newton publicar seu trabalho sobre teoria musical.
Uma de suas obras mais admiradas foi o estudo da rosa polar, uma família de curvas que lembram flores, que chamou de rhodoneas (do grego rhodon, rosa), em seu livro "Flores Geometrici" (1725).
Mas foi uma outra obra sua que despertou não só o interesse de seus pares, mas também uma acalorada polêmica em torno da série que leva seu nome.
0, 1, 1/2
A "Quadratura" não continha muitos trabalhos originais, exceto dois elementos particulares: a construção da curva de Agnesi e a identificação da série Grandi.
Reprodução
O livro, publicado em 1703 e com o título de “Quadratura do Círculo e da Hipérbole”, continha um resultado que chamou bastante atenção.
Grandi estudou aquela soma infinita de 1 − 1 + 1 − 1 + · · · E observou que, adicionando parênteses, chegava-se a resultados diferentes.
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)… resultava em 0 + 0 + 0…, que é igual a 0.
Mas se fosse escrito assim: 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1)… então a soma seria 1 + 0 + 0 + 0…, o que daria 1.
Isso por si só já era surpreendente.
Mais surpreendente ainda foi ele afirmar que a soma de infinitos 0s é igual a 1/2.
➡️Grandi preferiu explicar esse resultado com uma parábola em que imaginava dois irmãos que herdaram dos pais uma joia valiosa.
Eles foram proibidos de vendê-la e dividi-la à metade destruiria seu valor. Os irmãos concordaram que alternariam a propriedade da joia, trocando todo dia de Ano Novo. Supondo que o acordo continuasse indefinidamente, então, do ponto de vista de cada irmão, a propriedade da joia pode ser representada pela série
1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
Assim, cada irmão possui a joia pela metade do tempo, então o valor desta série seria 1/2.
Você pode ficar surpreso, mas vários matemáticos relevantes da época concordaram que essa era a resposta:
O renomado Leibniz chegou à mesma conclusão por outros métodos e declarou que 1/2 era a resposta que lhe parecia correta, embora reconhecesse que o argumento era mais "metafísico do que matemático".
O suíço Leonhard Euler, um dos maiores e mais prolíficos matemáticos de todos os tempos, fez seus próprios cálculos e escreveu em 1760:
“Não pode restar dúvida de que, de fato, a série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + etc. e a fração 1/2 são quantidades equivalentes e que é sempre permitido substituir uma pela outra sem erro."
Tal como eles, outros matemáticos em toda a Europa discutiram a série infinita, chegando a suas próprias conclusões. Mas um deles, em particular, não gostou muito das ideias de Grandi.
Do nada a tudo
Alessandro Marchetti (1633 – 1714) era o professor de matemática na Universidade de Pisa e ressentiu-se da fama internacional de Grandi. Tentando desacreditá-lo, criticou duramente seu livro.
Em resposta, Grandi publicou uma segunda edição de "Quadratura…" em 1710. Mas desta vez ele foi autorizado a incluir um comentário que os censores haviam exigido que fosse removido da versão anterior, condição com a qual ele concordou, não sem relutância.
Era uma afirmação ainda mais surpreendente do que os resultados que ele tinha obtido.
Sua reflexão foi a de que ao se adicionar parênteses à expressão 1 − 1 + 1 − 1 + · · · era possível obter, de maneiras diferentes, 1 ou 0, “então a ideia de criação ex nihilo era perfeitamente plausível”.
A criação ex nihilo é a criação a partir do nada.
Além disso, se uma quantidade finita podia ser obtida a partir de uma soma infinitamente prolongada de zeros, era necessário “reconhecer aquele poder infinito”, uma força que mesmo “multiplicando o que em si não é nada, transforma-o em algo, da mesma forma que, dividindo uma magnitude finita, força-a a degenerar em nada."
E tinha sido “pelo poder infinito do Deus Criador que todas as coisas foram feitas do nada, e todas as coisas podem ser reduzidas ao nada”.
Assim, Grandi parecia ter chegado a uma prova matemática de que Deus havia criado tudo do nada.
É claro que isso serviu para jogar lenha na fogueira: Marchetti publicou então um ataque a essa segunda edição em 1711, ao qual Grandi respondeu com outro artigo em 1712. A polêmica continuou até a morte de Marchetti, em 1714.
O interesse pela série de Grandi, no entanto, persistiu.
Embora seus argumentos não resistam ao escrutínio matemático moderno, existe um marco para somas infinitas em que a série de Grandi é igual a 1/2.
É conhecida como soma de Cesàro, em homenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro, do final do século XIX.
No entanto,segundo diversas fontes, a opinião geral dos matemáticos hoje é que o valor da série de Grandi não é 1, nem 0, nem 1/2: o resultado dessa soma infinita é nenhum.
Mas, se fosse algum, seria 1/2.
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Neste artigo, o professor da Universidade de Strathclyde discute a importância das experiências práticas no processo de aprendizagem. Se quisermos que os alunos desenvolvam seu conhecimento de ciências e sejam capazes de usá-lo no futuro, é fundamental que o foco esteja em estratégias que desenvolvam uma compreensão profunda dos conceitos e de como eles são estruturados, em vez de depender de artifícios ou experiências pontuais.
Pexels
Um grupo de cientistas, incluindo integrantes da Royal Society of Chemistry (sociedade científica do Reino Unido), propôs, recentemente, que experiências como lamber um picolé deveriam fazer parte do currículo de ciências. Ao saboreá-lo e, simultaneamente, ver como ele derrete – diz a proposta – as crianças aprenderiam melhor sobre o derretimento e, portanto, sobre química e física.
Mas será que essa experiência, ou outras como modelar massa, brincar com sombras ou cavar no solo, realmente ajuda os alunos a aprender ciências?
A utilização de exemplos e demonstrações em sala de aula pode ser uma porta de entrada útil para uma compreensão mais profunda, mas não é um atalho para o conhecimento.
A ideia de aprender por meio de vivências tem uma longa história. Talvez esteja mais intimamente associada ao trabalho do educador John Dewey no início do século XX. Dewey, e outros educadores da época, estavam preocupados com o fato de que a ênfase na aprendizagem mecânica levaria ao “conhecimento inerte”: fatos que os alunos não conseguiriam aplicar ao mundo real.
Uma experiência como lamber um pirulito pode, no mínimo, ser memorável, especialmente se você nunca tiver feito isso antes. Chupar um picolé ou vê-lo derreter na sala de aula levaria ao que os psicólogos chamam de memória episódica: uma lembrança de um evento em sua vida.
Experiência e compreensão
Entretanto, há uma diferença entre ter lembranças e ter conhecimento. Há distância enorme, por exemplo, entre ter vivenciado a Revolução Francesa e saber o que aconteceu.
Esse último envolve um tipo diferente de memória – as semânticas. Elas se baseiam na compreensão de como as coisas funcionam e o que significam. É o tipo de memória que está em jogo quando você usa uma palavra como “pesado”, sem conexão com um objeto de peso específico. Esses entendimentos são essenciais tanto para o aprendizado científico quanto para o uso da linguagem.
Se você parar para pensar, a maior parte do seu conhecimento não pode ser claramente vinculada a uma experiência determinada. O aprendizado, geralmente, não é um processo único – pense na quantidade de diferentes situações que um jardineiro precisa ter vivido antes de “saber” como as plantas crescem e se desenvolvem.
Essas memórias semânticas derivam de um amálgama de muitas práticas e, às vezes, da comparação e do contraste de coisas diferentes: como entre dois tipos de plantas ou entre um picolé e um sorvete.
Aprender sobre derretimento é semelhante. Não demonstramos o fato apenas uma vez e, bum!, os alunos aprenderam.
O que é a educação permissiva praticada por pais em casa e por que ela está 'enlouquecendo' professores?
Importância do contexto
Compreender a ciência ou qualquer outra coisa também não se trata apenas de lembrar eventos. Os alunos precisam entender o encontro, ter sua atenção direcionada para processos semelhantes e diferentes e conhecer múltiplos exemplos.
Para tirar o máximo proveito disso, os estudantes necessitam de conhecimento prévio suficiente sobre o que está acontecendo quando observam algo em sala de aula. Esse é um dos motivos pelos quais deixar que os alunos descubram as coisas sozinhos é uma estratégia falha.
Esse também é outro motivo pelo qual confiar em experiências pontuais não funciona. Os alunos precisam revisitar as ideias periodicamente, cada vez trazendo mais informação e compreensão para a mesa.
Sem um entendimento básico da ciência, há o risco de o aluno não conseguir conectar uma observação em sala de aula ao seu contexto mais amplo. Saber sobre o derretimento, por exemplo, é muito mais do que saber que um picolé derrete – envolve entender porque e em que circunstâncias isso acontece. Também inclui levar em conta que outras substâncias cotidianas derretem em temperaturas mais altas.
Isso é importante para impedir que se tenha concepções científicas errôneas. No exemplo do picolé, os alunos podem generalizar demais as características da superfície, como a rapidez com que ele derrete ou o quanto é pegajoso, e entendê-las como características do derretimento em geral.
Em resumo, aprender sobre a ciência, ou qualquer outra coisa, não é apenas lembrar-se de eventos vividos. Trata-se de ampliar o entendimento: a que experiência ele está ligado, de que categoria é um exemplo e como difere de outros conceitos.
Aprendizado pessoal
Outra afirmação notável na história do picolé foi a sugestão de que é importante promover o aprendizado “em nível pessoal”. Há pesquisas sobre isso também.
Imagine que lhe pediram para lembrar uma lista de palavras aleatórias, como “música, brócolis, dança, garrafas plásticas, tubarões bebês”.
Um estudo sobre a memória descobriu que as pessoas se lembravam melhor de palavras de listas como essa, se lhes fosse perguntado “você gosta disso?” em comparação com uma pergunta mais simples, de processamento de informações, como “a palavra contém a letra ‘e’?” Também nos lembramos melhor de nossas próprias posses (ou seja, o que possuímos) do que de objetos genéricos.
Portanto, sim, há algumas evidências de que podemos reter melhor as experiências se estivermos pessoalmente envolvidos nelas. Entretanto, vale a pena observar que esses experimentos são de curto prazo. E na vida cotidiana, podemos realmente gostar e nos envolver diretamente com algo, como um livro ou uma conversa, mas esquecer os detalhes em algumas semanas ou meses.
Em parte, é por isso que as pessoas escrevem diários. As lembranças de nossas vidas são efêmeras e se perdem facilmente com o tempo. Às vezes, essas memórias são distorcidas ou até mesmo inteiramente imaginadas – falsas memórias. É arriscado basear o aprendizado de ciências nesse tipo de memória.
Se quisermos que os alunos desenvolvam seu conhecimento de ciências e sejam capazes de usá-lo no futuro, é fundamental que o foco esteja em estratégias que desenvolvam uma compreensão profunda dos conceitos e de como eles são estruturados, em vez de depender de artifícios ou experiências pontuais.
Tudo isso sem falar na praticidade de armazenar um picolé para cada aluno da escola, distribuí-lo em sala de aula ou limpá-la depois.
*Jonathan Firth é professor sênior em Educação na Universidade de Strathclyde.
**Este texto foi publicado originalmente no site da The Conversation Brasil.